邹生书——直角扇形中向量数量积取值范围试题的多种解法

请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。

---

公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

---

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。 

直角扇形中向量数量积取值范围

试题的多种解法

湖北省阳新县高级中学      邹生书

解法1：特殊化方法

本题作为一道填空题，只填写结果不问过程，因此我们可以根据图形的对称性凭直觉进行猜想，只考察点P的某些特殊位置时向量的数量积，从而猜想其取值范围.

下面小题大做，将此题当作解答题来求解给出如下几种解法，同时验证上述猜想是正确的。

    解法2：坐标法+圆的参数方程+换元+二次函数

                           图2

      建立直角坐标系如图2所示.

    解法3：解三角形+二次函数

               图3

如图3，OD⊥AB于点D,PQ的延长线交OA于点E,

则∠PEA=π/4,设∠MPN=θ，

则OD=√2/2,θ∈[0,π/4]。

    解法4：向量数量积几何意义+四点共圆双割线定理切入求解

                                           图4

如图4，OD⊥AB于点D,PQ的延长线交OA于点E,

则∠PEA=π/4,设∠MPN=θ，

则OD=√2/2,θ∈[0,π/4],

作QF⊥AB于点F.由向量数量积的几何意义得

  解法5：极化恒等式+图形直观

                                                        图5

如图5，设PQ交弦AB于点M,连接OM,因为M为PQ之中点，

观察图1知,√2/2=OD≤OM≤OA=1,0≤PM≤1-√2/2,

且当点P到弦AB的距离MP减小时,OM的长度增大.

参考文献：

杨志明。一道有关扇形中的平面向量取值范围问题的解答。杨志明数学角，20210626

邹生书数学

2021年第二季度

最受读者欢迎的56篇解题文章

公众号邹生书数学

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。